Азартна гра. Нормальний розподіл (Гаусса, Максвелла), розподіл Бернуллі

Йоган Ганс Фрідріх Гаус (1777 - 1855)

      Розглянемо азартну гру, тобто таку гру, де не існує виграшної стратегії. Виграш і програш; відбуваються довільним чином. Прикладами азартної гри є підкидання монети, грального кубика, рулетка і більшість картярських ігор. Формалізувати цю задачу можна у такий спосіб: На числовій осі розглянемо точку, що перебуває спершу у початку координат, а далі може абсолютно випадково рухатись стрибками на довільну відстань як у бік зростання значення її координати x, так і бік її зменшення. Додатні значення x відповідають виграшу відповідної суми, від`ємні – програшу. Нашою метою буде заходження функції розподілу ймовірностей координати цієї точки після великої кількості стрибків.

         Виявляється, що цю задачу можна спростити, розглянувши блукання точки не на числовій прямій, а у площині. Тепер положення точки задаватиметься двома координатами x і y. Позначимо відповідну функцію розподілу ймовірності (густину розподілу ймовірності) через F(x, y). Тоді ймовірність точки мати координати x і y з діапазону значень [ x , x + dx ], [ y , y + dy ] позначиться так

                                                               dW(x, y) = F(x, y) dx dy .

         Оскільки координати точки x і y абсолютно рівноправні і незалежні, то їх зміна відбувається за одним і тим же законом f(x) і f(y) і

                                                                     F(x, y) = f(x) f(y).

Кожна з цих функцій задовольняє умові нормування (інтегрування здійснюється у нескінчених межах)

∫ f(x) dx = ∫ f(y) dy = 1.

Оскільки рівноправними є також додатні і від`ємні значення кожної з координат, тобто

∫ F(x, y) dx dy = 1,    f(x) = f(-x),    f(y) = f(-y),    ∫ f(y) dy

то відповідні густини ймовірностей залежать лише від квадратів цих координат

  f(x) = f(x²),           f(y) = f(y²).

Зовсім аналогічно рух точки можна описати і у полярних координатах ρ, φ

  dW(ρ, φ) = F(ρ, φ) ρ dρ dφ = R(ρ) Φ(φ) ρ dρ dφ.

Кожна з густин у полярних координатах задовольняє умові нормування (полярний радіус змінюється в межах від нуля до нескінченості, а полярний кут від нуля до двох пі)

  ∫ F(ρ, φ) ρ dρ dφ = 1,   ∫ R (ρ) ρ dρ = 1,    ∫ Φ(φ) dφ = 1.

      Густину розподілу за полярним кутом φ легко знайти з умови нормування, оскільки всі напрямки руху точки рівноправні ( цей кут визначає саме напрямок руху)

  Φ(φ) = 1 / 2 π .

Тепер густину розподілу у полярних координатах можна записати так

  F(ρ, φ) = [1 / (2 π)] R(ρ) = [1 / (2 π)] R(x² + y²).

Оскільки

dW (x, y) = dW (ρ, φ),    dx dy = ρ dρ dφ ,

то

f(x²) f(y²) = [1 / (2 π)] R(x² + y²).

      Від функційного рівняння зручно перейти до диференційного. Для цього функційне рівняння спочатку логарифмуємо

ln[f(x²)] + ln[f(y²)] = - ln(2 π) + ln[R(x² + y²)].

Тепер це рівняння спочатку здиференціюємо за x, а потім за y

 df(x²) / f(x²) = dR(x² + y²) / R(x² + y²),

 df(y²) / f(y²) = dR(x² + y²) / R(x² + y²),

Оскільки ліві частини цих рівнянь рівні, то рівні і праві їх частини

 df(x²) / f(x²) = df(y²) / f(y²) = - λ.

Тут λ – довільна стала. Її поява засвідчує той факт, що ми маєм рівність двох виразів, кожний з яких залежить від іншої змінної. Останнє рівняння еквівалентне системі двох рівнянь

df(x²) / f(x²) = - λ,   df(y²) / f(y²) = - λ.

Загальні розв ` язки цих рівняннь легко знаходяться і мають вигляд

         f(x²) = A exp(- λ x²),   f(y²) = A exp(- λ y²).

Довільні сталі можна знайти з умови нормування – це відомий інтеграл Пуассона

     A = λ^1/2 / π^1/2.

Якщо позначити дисперсію цього розподілу через σ², то, за означенням,

     σ² = <x²> - <x>².

Обчислюючи дисперсію із знайденою нами функцією розподілу ймовірності отримаємо

         λ = 1 / [(2 π) σ²].

Остаточний вигляд знайденого нами розподілу ймовірності буде наступним

     f(x²) = [1 / [σ (2 π)^1/2]] exp[- x² / (2 σ²)].

Такий розподіл називається нормальним розподілом або розподілом Гауса. Вище він записаний у разі нульового математичного сподівання μ. У загальному випадку

f(x²) = [1 / σ (2 π)^1/2] exp[- (x – μ)² / (2 σ²)].

      

         

      Правило трьох сигм (68% - 95% - 99.7%)

      Для будь-якого нормального розподілу діє чітке геометричне та статистичне правило щодо того, скільки даних потрапляє в певні проміжки від центру:

         [μ + σ, μ - σ] (одна сигма): приблизно 68.27% усіх значень лежать у межах одного стандартного відхилення від середнього.

          [μ + 2 σ, μ - 2 σ] (дві сигми): приблизно 95.45% усіх значень лежать у межах двох стандартних відхилень.

      [μ + 3 σ, μ - 3 σ] (три сигми): приблизно 99.73% усіх значень лежать у цих межах. Це означає, що поява значення, яке відхиляється від середнього більше ніж на 3 σ, є вкрай малоймовірною подією (усього 0.27%).

      Стандартний нормальний розподіл

      Якщо ми візьмемо будь-який нормальний розподіл і проведемо процедуру стандартизації (віднімемо від кожного значення μ і поділимо на σ, ми отримаємо стандартний нормальний розподіл.У нього фіксовані параметри: Середнє значення μ = 0. Стандартне відхилення σ = 1. Його формула спрощується. Значення для цього розподілу занесені в спеціальні статистичні таблиці (Z-таблиці), за якими розраховують ймовірності у прикладних задачах.

                                                                                    f(x²) = [1 / (2 π)^1/2] exp(- x² / 2).

      Чому він такий поширений у природі та житті?

      Нормальний розподіл зустрічається повсюдно: зріст та вага людей, їх інтелект, характер, схильність до творчості у музиці, мистецтві, літературі, науці тощо, заробітки людей там, де вони залежать від продуктивності праці, похибки вимірювань приладів, коливання цін на біржах, розподіл швидкостей молекул в одновимірному випадку (розподіл Максвелла). Фундаментальною причиною цього є Центральна гранична теорема. Спрощено вона звучить так: Якщо якась величина (наприклад, зріст людини) формується як результат додавання великої кількості незалежних випадкових факторів (генетика, харчування, дитячі хвороби, екологія тощо), то розподіл цієї сумарної величини буде прагнути до нормального, незалежно від того, який розподіл мав кожен фактор окремо.

      Зауваження.

      Вибори до органів влади в умовах демократії спрямовані на те, щоб виборні посади займали люди, не наділені винятковими здібностями. Оскільки більшість людей, що є виборцями, не мають жодних талантів, а голосують люди переважно за тих кандидатів, що здаються їм подібними до них, то і до влади через вибори приходять переважно люди, не наділені жодними талантами. Вважається, що така система підбору керівних кадрів служить певним застережним засобом проти приходу до влади талановитих людей, які можуть використати свій талант для власного збагачення і на шкоду населенню країни, але вона унеможливлює ефективне і відповідальне керівництвоо країною справді талановитими людьми у сфері економіки, культури, права тощо. Уявимо на хивилину, якби президента академії наук обирали не серед людей, що довели свою професійну перевагу над більшістю науковців і мають високі наукові звання, а серед людей, що взагалі не мають наукового ступеню. Якою б тоді була ефективність у науковій царині такої академії наук? Уявімо, що директора приватної крамниці раптом почали обирати голосуванням покупців товарів цього магазину. Як довго протрималася б на плаву така крамниця? Уявімо, якби верхнового головнокомандувача під час війни почали обирати серед кандидатів, що взагалі не мають військового звання. Чи довго довелось би очікувати поразки такої армії на полі бою?

      А яким мав би бути спосіб обрання, наприклад, президента країни так, щоб кожний громадянин країни відчував свою причетність до виборів і мав шанс стати президентом? Один з можливих варіантів - це організувати шаховий турнір серед всіх потенційних виборців. Далі проводити вибори прямим голосування за одного з переможців цього турніру, наприклад тих, хто увійшов у першу десятку. А якщо серйозно, то слід памйатати, що всіма досягненнями у всіх царинах свого життя людство зобовйазане тим людям, що становлять 0.27% від їх загальної чисельності (згадайте правило трьох сігма). Половина з цієї кількості зумовлює позитивні досягнення людства, а половина - негативні (причина у симетрії нормального розподілу ймовірності).

      Повертаючись до азартної гри зазначимо, що математичне очікування значення координати точки x – це очікування виграшу у разі її додатних значень і очікування програшу у разі її від ` ємних значень. Нульове математичне сподівання у даному випадку означає, що чим довше людина грає в азартну гру, тим ближче значення її виграшу (вибіркове середнє) буде до математичного очікування, тобто до нуля. Отже, азартна гра з точки зору заробітку не має жодного сенсу. Насправді, виграш в окремому турі можливий, так само як і програш, проте за багато турів гравець приходить до математично строгого результату – нульового виграшу. Проте, враховуючи, що з кожного виграшу гравець сплачує певну його долю казино, а за кожного програшу казино нічого не сплачує гравцю, щоб хоча б частково компенсувати його втрати, маємо остаточний програш гравця у вислід багатьох турів. Тому, коли гравці, час від часу, виграють великі суми у якомусь з турів, працівники казино завжди пропонують їм пограти ще, нібито для того, щоб виграти ще більше. Проте, насправді, вони підштовхують гравця до тривалої гри, а математика гарантує нульовий виграш саме за тривалої гри.

(Якщо сукупність всіх гравців взяти за 100%, то на графіку зазначені відсотки осіб з різними сумами програшів і виграшів. Загальна сума всіх програшів - 45 одиниць. Загальна сума всіх виграшів - 45 одиниць.)

                Чому ж люди грають в азартні ігри? Моя відповідь – через своє невігластво. Їм здається, що випадком можна керувати. Проте є і друга причина. Більшість людей за всяку ціну уникають розумового напруження. Чого не вимагає азартна гра, то це якраз розумового напруження. Нарешті, є і третя причина - найголовніша. Вона полягає у тому, що саме азартна гра урівнює шанси і на виграш, і на програш всіх гравців, не залежно від їх розумових здібностей і соціального статусу. Прагнення рівності – це найсильніший спонукальний мотив для дій людей, які інтуїтивно розуміють свою неконкурентноздатність порівняно з іншими людьми.

                                                                                     

Розподіл Максвелла

      Нормальний розподіл має широке застосування у статистичній фізиці. Проте тут він виступає під іншиим імйам як розподіл Максвелла. Однією з базових фізичних моделей статистичної фізики є модель ідеального газу. Ця модель наближено відображає ситуацію у газі, взаємодією молекул якого порівняно з їх кінетичною енергією можна знехтувати. Єдиним параметром, що характеризує динамічний стан молекул, тут є їх швидкість. Цей параметр зберігається під час руху молекул, змінюючись лише у висліді їх зіткнень. Оскільки зіткнення молекул мають абсолютно випадковий характер, то їх швидкість також можна вважати випадковою велчиною, що непердбачуваним чином змінюється у висліді їх зіткнень. Координати молекул не є їх інформативною характеристикою, оскільки вони змінюються неперервно і під час руху між зіткненнями, і під час самих зіткнень. Швидкості молекул ідеального газа є не лише випадковими велчинами, а незалежними випадковими величинами. Це було б не так, якби молекули були іонізованими, а газ знаходився у зовнішньому магнітному полі, яке у цьому разі суттєво б впливало на швидкості молекул.

      Оскільки середня швидкість молекул ідеального газу дорівнює нулю, то закон розподілу молекул за швидкостями буде звичайним нормальним законом з нульовим математичним очікуванням. Оскільки швидкість є вектором, що має три компоненти, то незалежними випадковими велчинами є кожна окрема компонента цього вектор

                                                                       f(v_x ²) = [1 / (2 π)^1/2 σ] exp(- v_x ² / 2 σ²),

                                                                       f(v_y ²) = [1 / (2 π)^1/2 σ] exp(- v_y ² / 2 σ²),

                                                                       f(v_z ²) = [1 / (2 π)^1/2 σ] exp(- v_z ² / 2 σ²).

Відповідно квадрат вектора швидкості буде розподілений за законом

                                                         f(v²) = f(v_x ²) f(v_y ²) f(v_z ²) = [1 / (2 π)^3/2 σ³] exp(- v ² / 2 σ²).

Тут дисперсія σ², оскільки середня швидкість дорівнює нулю, - це середній квадрат швидкості молекул

                                                                                  σ² = < v_x² > = < v_y² > = < v_z² >.

У статистичній фізиці в якості дисперсії зручно використовувати експериментально вимірювану величину під назвою температура. У разі ідеального газу молекул ця характеристика наступним чином повйазана із найймовінішою швидкістю молекул (середина кривої розпідлу)

                                                                                               v_max² = 2 k_B T / m.

Тут k_B - стала Больцмана, T - температура, m - маса молекули. Тепер закон розподілу Максвелла можна записати так

                                                                          f(v ²) = [m / (2 π T)]^3/2 exp(- mv² / 2 k_B T).

Модель ідеального газу дозволяє дати одне з можливих фізичних означень темпераутри, повйазавши її з найймовірнішою швидкістю (імпульсом) молекул ідеального газу або з найймовірнішим значенням її кінетичної енергії

                                                                                            k_B T = m v_max² / 2 = E_max

або з середньою кінетичною енергією її молекул

                                                                                                        k_B T = E / 3.

Не завжди температура так просто повйазана з якоюсь засадничою характеристикою статистичної системи, але майже завжди ми дисперсію будь-якої випадкової фізичної величини ототожнюємо з температурою термостату. Тобто, образно кажучи, дисперсію вимірюємо термометром.

Смертність на лінії фронту. Розподіл Бернуллі

       Життя солдата на лінії фронта нагадує гру в підкидання монети. Підкинув монету і випав герб - ти вижив., випала решка - ти загинув. Позначимо ймовірність випадення герба черз p? а ймовірність випадення герба через q = 1 - p. Оскільки окремі підкитдання монети можна вважати незалежними, то то ймовірність випадення герба двічі при двократному підкиданні монети визначиться так P₂(2) = p p. Ймовірність випадення двох гербів підряд, тобто жодного герба, буде такою P₂(0) = (1 - p) (1 - p). Якщо ж нас цікавить випадення одного герба і одної решки не важливо у якій послідовності, то відповідь буде такою P₂(1) = 2 p (1 - p). У загальному випадку при n підкиданнях випадення m гербів не важливо у якій послідовноісті визначиться біноміальним розподілом йомовірності

P_n(m) = C_n^m p_m (1 - p)^n-m.

Тут C_n^m p_m - кількість сполучень з n елементів по m елементам

C_n^m p_m = n! / [m! (n - m)!].

Можна показати, що коли n і m є великими числами, то має місце асимпотична формула (локальна теорема Муавра - Лапласа)

P_n(m) = exp[(m - n p)² / (2 n p (1 - p)] / √2 π n p (1 - p).

Ця формула нагадує нормальний розподіл, де роль математичного очікування або середнього значення випадкової величини m відіграє n p, а роль дисперсії n p (1 - p). Якщо загальну кількість солдат на лінії фронту позначити через n, то ймовірність того за певний період часу загине m солад якраз і визначатиметься наведеною вище формулою. Проте є і суттєві відмінності. Основна відмінність графіку біноміального розподілу ймовірності від графіку нормального розподілу ймовірності у тому, що перший графік є графіком для самої ймовірності, а другий для густини ймовірності. Ще одна відмінність полягає у тому, що аргументом для біноміального розподілу є ціле невідйемне число, а для густини ймовірності - довільне дійсне число від мінус нескінченості до плюс нескінченості.

Національна асоціація дослідників Голодомору - геноциду українців | Публікація 26 Національна асоціація дослідників Голодомору - геноциду українців | Публікація 15

Валерій Швець

     

     

      Інші сторінки мого блогу:

      Valeriy Shvets selected: https://valeriyshvetsselected.blogspot.com/

      Література: https://valeriyshvetsscienceliterature.blogspot.com/

      Точні науки: https://shvetsvtnew.blogspot.com/

      Народний Рух України: https://peoplemovementofukraine.blogspot.com/

      Геноцид українців: https://genotsyd.blogspot.com/