З чого починалась квантова механіка? Формула Планка

      Є задачі, які зіграли засадничу роль у становленні квантової механіки. В першу чергу до таких задач належить задача про випромінювання абсолютного тіла (дивись додаток). Почнемо з розгляду максимально простої задачі з участю електролмагнітного поля. Це задача про поведінку вільного електромагнітного поля, що описується векторним потенціалом A(r, t), а отже задовольняє рівнянню Даламбера

           ∆ A(r, t) – (1/c²) ∂²A(r, t)/∂t²

і умові калібровки Лоренца

           div A(r, t) = 0.

Тут c – швидкість світла, r і t – незалежні змінні. Задачу можна спростити ще більше, якщо розглядати не електромагнітне поле у нескінченому просторі, а обмежити електромагнітне поле скінченим простором, форму якого також оберемо максимально простою, тобто у формі паралелепіпеда

           - L_x ≤ x ≤ L_x,      - L_y ≤ y ≤ L_y,      - L_z ≤ z ≤ L_z.

Обйем паралелепіпеда

           V = 2L_x 2L_y 2L_z.

      В якості межових умов також візьмемо найпростіші, а саме неоднорідні межові умови першого роду, які відповідають заданню на поверхні паралелепіпеда значень векторного потенціалу

           A(- L_x, y, z, t),      A(L_x, y, z, t),      - L_y ≤ y ≤ L_y,      - L_z ≤ z ≤ L_z,

           A(x, - L_y, z, t),      A(x, L_y, z, t),      - L_x ≤ x ≤ L_x,      - L_z ≤ z ≤ L_z,

           A(x, y, - L_z, t),      A(x, y, L_z, t),      - L_x ≤ x ≤ L_x,      - L_y ≤ y ≤ L_y.

Очевидно, що в усіх точках кожної з бокових граней паралелепіпеда поле має однакові значення. На протилежних гранях паралелепіпеда поле відрізнятиметься лише числовим коефіцієнтом, а саме

           A(L_x, y, z, t) = α_x A(- L_x, y, z, t),

           A(x, L_y, z, t) = α_y A(x, - L_y, z, t),

           A(x, y, L_z, t) = α_z A(x, y, - L_z, t),

де α_x, α_y, α_z — відомі дійсні числа.

Скінченність простору, зайнятого полем, дозволяє застосувати до розвйазання польового рівняння розвинення невідомої функції у ряд Фурьє

           A(r, t) = (1/√V) ∑_k a_k(t) exp(i k r).

Після підстановки цього розвинення у рівняння воно набуває вигляду

           (1/√V) ∑_k exp(i k r) [d²a_k(t)/dt² – k² a_k(t)] = 0,

де ми врахували, що

           ∆ A(r, t) = - (1/√V) ∑_k exp(i k r) k² a_k(t),

           ∂²A(r, t)/∂t² = (1/√V) ∑_k exp(i k r) d²a_k(t)/dt².

Отримане нами рівняння виконуватиметься лише у разі, якщо, виконуватиметься рівняння

           d²a_k(t)/dt² – ω_k ² a_k(t) = 0,

де

           ω_k = c k

- так звана циклічна частота електромагнітних коливань. Ще одне рівняння породжує умова калібровки

           k a_k(t) = 0.

Останнє рівняння є умовою ортогональності амплітуди коливань a_k(t) і хвильового вектора коливань k. іншими словами електромагнітні хвилі є поперечними і амплітуда коливань має у просторі лише дві незалежні компоненти, перпендикулярні до напрямку їх розповсюдження.

      Отримані рівняння дозволяють інтерпретувати електромагнітне поле A(r, t) як набір незалежних осциляторів, кожний з яких характеризується своєю частотою коливань ω_k , хвильовим вектором k і амплітудою коливань a_k(t). Врахуємо тепер вплив межових умов на розвйязки отриманого рівняння. Підкладаючи розвинення Фурйе в межові умови, отримуємо

           ∑_k exp(i k_x L_x) exp[i (k_y y + k_z z)] a_k(t) = α_x ∑_k exp(- i k_x L_x) exp[i (k_y y + k_z z)] a_k(t),

           ∑_k exp(i k_y L_y) exp[i (k_x x + k_z z)] a_k(t) = α_y ∑_k exp(- i k_y L_y) exp[i (k_x x + k_z z)] a_k(t),

           ∑_k exp(i k_z L_z) exp[i (k_x x + k_y y)] a_k(t) = α_z ∑_k exp(- i k_z L_z) exp[i (k_x x + k_y y)] a_k(t).

Такі рівності можливі лише за умови, якщо

           exp(i k_x L_x) = α_x exp(- i k_x L_x),

           exp(i k_y L_y) = α_y exp(- i k_y L_y),

           exp(i k_z L_z) = α_z exp(- i k_z L_z)

або

           exp(2 i k_x L_x) = α_x, exp(2 i k_y L_y) = α_y, exp(2 i k_z L_z) = α_z.

Врахуємо тепер, що у показниковій формі представлення для одиниці маємо вираз

           1 = exp(i 2 π n),

де n – довільне ціле число. Тепер межові умови можна записати так

           exp(2 i k_x L_x) = α_x exp(i 2 π n_x) = exp[(i 2 π n_x) + ln(α_x)],

           exp(2 i k_y L_y) = α_y exp(i 2 π n_y) = exp[(i 2 π n_y) + ln(α_y)],

           exp(2 i k_z L_z) = α_z exp(i 2 π n_z) = exp[(i 2 π n_z) + ln(α_z)]

або

           2 i k_x L_x = i 2 π n_x + ln(α_x),

           2 i k_y L_y = i 2 π n_y + ln(α_y),

           2 i k_z L_z = i 2 π n_z + ln(α_z).

Звідси для кожної компоненти хвильового вектора отримаємо наступний набір значень

           k_x = π n_x/L_x - i ln(α_x/2L_x,

           k_y = π n_y/L_y - i ln(α_y)/2L_y,

           k_z = π n_z/L_z - i ln(α_z)/2L_z.

Ці значення виявляються комплексними. Такими ж комплексними будуть і відповідні значення частоти електромагнітного поля. Комплексність хвильового вектора означає неоднорідність електромагнітного поля у просторі, що суперечить припущенню про те, що воно вільне. Комплексність частоти означає її затухання або наростання з часом в залежності від значень коефіцієнтів α_x, α_y, α_z. Це також суперечить припущенню про те, що поле вільне. Отже загальні неоднорідні межові умови першого роду не відповідають меті описання реального експерименту і взагалі не мають фізичного сенсу. Єдиний варіант, коли ми отримуємо можливість описати реальний експеримент, - це випадок, коли α_x, α_y, α_z = 1. У цьому разі

           k_x = π n_x/L_x,      k_y = π n_y/L_y,      k_z = π n_z/L_z

і на протилежних стінках паралелепіпеда поле має однакові значення. Сформулювати максимально просту задачу щодо електромагнітного поля не важко. Складніше відповісти на питання - як така задача може реалізуватись на практиці, щоб перевірити правильність запропонованої теорії через порівняння її результатів з даними експеримента. Як це не дивно, але електромагнітне поле з такими властивостями можна створити штучно. Більше того, таке поле у багатьох різних варіантах існує і в оточуючому нас світі. Реальна фізична поверхня з властивостями, адекватними поставленій нами межовій задачі для рівняння електромагнітного поля, отримала назву поверхні абсолютно чорного тіла (дивись Додаток 1). Фізично це означає, що внутрішні поверхні обраного нами паралелепіпеда поглинають все електромагнітне випромінювання, що на них падає, і випромінюють його знову відповідно до власної температури. При цьому зовні паралелепіпеда випромінювання не потрапляє. Все випромінювання здійснюється всередину обйему. Поле знаходиться у рівновазі з оточуючою абсолютно чорною поверхнею. Однаковість поля в усіх точках поверхні, обговорена нами вище, просто означає, що температура всіх її точок однакова. Геометрично таку процедуру часто пояснюють як використання циклічних межових умов. В одновимірному випадку вони відповідають обйеднанню кінців проміжку [- L_x, L_x]. Так поступають і у разі більшої кількості вимірів. Вже у тривимірному випадку таку процедуру годі й уявити.Звичайно ж на практиці це питання окремо не обговорюють.

      Тепер і хвильовий вектор, і частота електромагнітної хвилі є дійсними, а поле однорідним у просторі і стаціонарним у часі. Стосовно розглянутої нами задачі це означає використання паралелепіпеда з абсолютно чорними стінками (дивись додаток), тобто такими, що повністю поглинають і повністю випромінюють все світло, що на них падає. Інші варіанти можна розглядати лише теоретично, але не можливо реалізувати практично.

      Надалі нас цікавитимуть наступні інтервальні оцінки

           ∆k_x = π ∆n_x/L_x,      ∆k_y = π ∆n_y/L_y,      ∆k_z = π ∆n_z/L_z.

Тут число незалежних тривимірних осціляторів

           ∆n = ∆n_x ∆n_y ∆n_z,

що відповідає інтервалу значень хвильового вектора

           ∆k = ∆k_x ∆k_y ∆k_z,

буде таким

           ∆n = [(L_x L_y L_z)/π³]∆k = [V/(2 π)³] ∆k.

      Враховуючи поперечність коливань тривимірних осциляторів, тобто наявність у них лише двох ступенів вільності, кількість одновимірних осциляторів буде вдвічі більшою

           ∆N = 2 ∆n = 2 [V/(2 π)³] ∆k.

У сферичних координатах

           ∆N = 2 [V/(2 π)³] k² sin(θ) dθ dφ ∆k.

Після інтегрування за тілесним кутом

           ∆N = (V/π2) k² ∆k = (V/π²) ω² ∆ω/c³ = 8 π V ν² ∆ν/c³,

де частота коливань

           ν = ω/(2 π).

Оцінимо порядок величин, що входять у вираз для ∆N. Запишемо відповідну формулу так

           ∆N = [(8 π V ν³)/c³] (∆ν/ν).

      Частота видимого світла знаходиться в інтервалі (4×10¹⁴ — 7.5×10¹⁴) гц. Для швидкості світла візьмемо величину 3 10¹⁰ см/сек. Нехай ∆N є скінченою величиною, рівною одиниці, а V = 1 см3, тоді вираз у дужках має порядок величини 10¹⁴. Тобто коефіцієнт пропорційності між кількістю одновимірних осциляторів і відносною частотою є надзвичайно великим. Отже, порівнюючи ∆N і відносну частоту ∆ν/ν можна сказати, що цю останню порівняно з ∆N можна вважати величиною порядку 10^-14. Ця обставина цілком виправдовує позначення проміжку частот ∆ν як диференціала частот dν з відповідними правилами його використання у подальшому. Отже, з високою точністю можна записати останній вираз так

           ∆N = [(8 π V ν²)/c³] dν.

Тепер легко визначити просторову густину енергії осциляторів в інтервалі частот [ν, ν + dν]

           ρ(ν, T) dν= ε(ν, T) dN/V = ε(ν, T) 8 π ν² dν/c³,

де ε(ν, T) – середня енергія одновимірного осцилятора в стані термодинамічної рівноваги при температурі T. Знайдемо цю енергію. Оскільки вона є квантованою, тобто кратною її мінімальній порції hν, де h – стала, що має розмірність енергії, помноженої на час, то довільне значення енергії

           ε_n = n h ν,

де n = 0, 1, 2, … .

      Відповідно до закону Больцмана, ймовірність w_n реалізації енергії ε_n при температурі T визначається так

           w_n = C exp[- ε_n/(k_B T)],

де k_B - стала Больцмана. Стала C знаходиться з умови нормування

           C ∑_n exp[- ε_n/(k_B T)] = 1.

Тут і надалі підсумовування здійснюється від 0 до ∞. Отже,

           w_n = exp[- ε_n/(k_B T)]/∑_n exp[- ε_n/(k_B T)],

           ε(ν, T) = ∑_n w_n ε_n.

Обчислимо відповідні суми

           ∑_n exp[- ε_n/(k_B T)] = ∑_n exp[- n h ν/(k_B T)] = ∑_n exp[- h ν/(k_B T)]ⁿ =

           = 1/[1 - exp[- h ν/(k_B T)]].

Тут ми використали формулу для суми нескінченої геометричної прогресії із знаменником exp[- h ν/(kB T)]. Вираз для середньої енергії можна представити так

           ε(ν, T) = - (∂/∂β) ln[∑_n exp(- n h ν β)] =

           = - (∂/∂β) ln[∑_n exp(- h ν β)]ⁿ = - (∂/∂β) ln[1/[1 - exp[- h ν/(k_B T)]]] =

           = h ν/[exp[h ν/(k_B T)] – 1],

де β = 1/(k_B T). Отже, отримуємо знамениту формулу Планка для випромінювання абсолютно чорного тіла

           ρ(ν, T) dν = 8 π h ν³ dν/[[exp[h ν/(k_B T)] – 1] c³].

Тепер для повної просторової густини енергії випромінювання отримаємо

           u(T) = = ( 8 π h/ c³) ∫dν ν³ /[exp[h ν/(k_B T)] – 1] =

           = 8 π (k_B T)⁴/(h c)³ ∫dx x³/[exp(x) – 1] =

            = 8 π⁵ (k_B T)⁴/(15 h³ c³),

де цей інтеграл і всі наступні обчислюються в межах від 0 до ∞.

Тут ми скористались відомим значенням інтегралу

           ∫dx x³/[exp(x) – 1] = π⁴/15.

      Формула Планка дозволяє знайти сталу h , введену нами з міркувань розмірності так, щоб добуток частоти на цю сталу мав розмірність енергії. Для цього використовується експериментально встановлений закон для густини енергії — закон Стефана-Больцмана

           u(T) = a T⁴.

Порівнюючи теоретично знайдений нами вираз для цього закону з експериментальним, бачимо, що

           a = 8 π⁵ k_B⁴/(15 h³ c³).

Звідси і знаходиться значення сталої Планка h = 6.62 10^-27 ерг сек.

           Додаток 1. Абсолютно чорне тіло

      Абсолютно чорне тіло — це ідеалізоване фізичне тіло, яке повністю поглинає будь-яке електромагнітне випромінювання незалежно від довжини хвилі та температури, і водночас є найкращим можливим випромінювачем. Його спектр випромінювання залежить лише від температури.

      Основні характеристики

      • Абсорбція: коефіцієнт поглинання дорівнює 1 для всіх довжин хвиль.

      • Випромінювання: інтенсивність визначається тільки температурою (закон Планка).

      • Колір: видимий колір змінюється із температурою — від червоного до білого.

      • Модель: практичною моделлю є порожнина з маленьким отвором і чорними стінками, де світло багаторазово відбивається і поглинається Приклади наближених чорних тіл

      • Сажа, платинова чернь: поглинають до 99% світла у видимому діапазоні.

      • Сонце: спектр близький до випромінювання чорного тіла при температурі ~6000 K.

      • Vantablack: сучасний матеріал, що поглинає 99,965% світла.

      Значення в науці

      • Термодинаміка: чорне тіло є базовою моделлю для вивчення теплового випромінювання.

      • Астрономія: спектри зірок порівнюють із випромінюванням чорного тіла для визначення температури.

      • Квантова механіка: дослідження випромінювання чорного тіла привели Макса Планка до відкриття квантування енергії, що стало основою квантової теорії.

      Ключові висновки

      • Абсолютно чорне тіло — абстрактна модель, яка не існує в природі у чистому вигляді.

      • Воно є еталоном для порівняння реальних матеріалів і небесних тіл.

      • Його дослідження стали фундаментом для розвитку квантової фізики та розуміння природи світла й тепла.

           Додаток 2. Ультрафіолетова катастрофа

           Ультрафіолетова катастрофа — це знаменитий парадокс у фізиці кінця XIX — початку XX століття, який показав, що класична наука зайшла в глухий кут, і став головним поштовхом до народження квантової механіки. Закони класичної фізики прогнозували, що будь-яке нагріте тіло (наприклад, спіраль лампочки, піч або зірка) має виділяти нескінченну кількість енергії в ультрафіолетовому та ще більш короткохвильовому діапазоні. А це означає, що кожен раз, коли ви просто запалюєте сірник, Всесвіт мав би вибухати від потужного спалаху рентгенівського та гамма-випромінювання.

           Очевидно, що в реальності цього не відбувалося. Саме величезну розбіжність між старою теорією та практичними експериментами фізики й охрестили «катастрофою». У чому суть парадоксу? У ті часи вчені вивчали випромінювання так званого абсолютно чорного тіла (це ідеалізований об'єкт, який повністю поглинає все світло, що на нього падає, а при нагріванні сам випромінює енергію залежно від своєї температури). Британські вчені лорд Релей і сер Джеймс Джинс вивели формулу (закон Релея — Джинса), спираючись на визнану тоді класичну термодинаміку та електродинаміку. Згідно з їхніми розрахунками, теплова енергія має розподілятися по кожній хвилі рівномірно. Але оскільки в короткохвильовому спектрі (ультрафіолет, рентген) можна помістити нескінченну кількість коливань, то й загальна потужність випромінювання мала б прагнути до нескінченності (двивись малюнок). Зверніть увагу на пунктирну лінію класичного закону (Rayleigh-Jeans Law): при зменшенні довжини хвилі (рух вліво, у бік ультрафіолетового спектра) графік стрімко йде вгору в нескінченність. Це і є математичне відображення «ультрафіолетової катастрофи». Проте реальні експерименти (суцільна чорна лінія Planck Radiation Formula) показували зовсім інше: на певній довжині хвилі випромінювання досягає свого піка, а в зоні ультрафіолету його інтенсивність взагалі падає майже до нуля. У 1900 році німецький фізик Макс Планк зміг розв'язати цю проблему, але для цього йому довелося піти на відчайдушний крок і порушити базове правило тодішньої науки. Класична фізика вважала, що енергія випромінюється неперервно, як суцільний потік води. Планк припустив протилежне: атоми випромінюють і поглинають енергію окремими порціями — «квантами» (ніби вода тече не струменем, а окремими краплями).Енергія такої порції ε прямо пропорційна частоті випромінювання ε = h ν, де h — стала Планка (нова фундаментальна стала Всесвіту). Чому це скасувало «катастрофу»? Щоб випромінити «краплю» (квант) світла з дуже високою частотою (ультрафіолет або рентген), атому потрібна колосальна кількість енергії. У звичайних умовах нагріте тіло просто не має стільки теплової сили, щоб сформувати хоча б один такий великий і «дорогий» квант. Завдяки відкриттю Планка фізика назавжди розділилася на класичну (яка чудово описує великі об'єкти навколо нас) та квантову (яка керує мікросвітом атомів, фотонів та елементарних частинок).

      Зауваження. Фундаментальність сталої Планка h, крім усього іншого, полягає ще і у тому, що вона є безпосередньою характеристикою елементарної структурної одиниці матерії під назвою фотон. Енергія фотона ε, що відповідає частоті ν, дірівнює

           ε = h ν.

Тобто сталу Планка можна означити як енергію, що відповідає електромагнітній хвилі з частотою 1 гц. Другою важливою характеристикою фотона, крім енергії, є імпульс p. Його також можна визначити через сталу Планка

           p = ћ k.

Тут k - хвильовий вектор фотона, а ћ = h/(2 π) - зведена стала Планка. Тепер зведену сталу Планка можна означити як імпульс фотона, модуль хвильового вектора якого дорівнює оберненій одиниці довжини. Більшість формул квантової механіки набувають естетичнішого вигляду, якщо замість сталої Планка ми скрізь використоовуємо зведену сталу Планка. У цьому разі енергія фотона визначатиметься вже не через частоту електромагнітного поля, а через так звану циклічну частоту ω = 2 π ν. Тепер енергія фотона запишеться так

           ε = ћ ω.

Δ Σ Φ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω ћ ׀ ∂ ∏ ∑ ∕ √ ∞ ∩ ∫ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥