З чого починалась квантова механіка? Формула Планка

      Є задачі, які зіграли засадничу роль у становленні квантової механіки. В першу чергу до таких задач належить задача про випромінювання абсолютного тіла (дивись додаток). Почнемо з розгляду вільного електромагнітного поля, що описується векторним потенціалом A(r, t), а отже задовольняє рівнянню Даламбера

           ∆ A(r, t) – (1/c2) ∂2A(r, t)/∂t2

і умові калібровки Лоренца

           div A(r, t) = 0.

Тут c – швидкість світла, r і t – незалежні змінні. Зручно обмежити електромагнітне поле скінченим простором, який оберемо у формі паралелепіпеда

           - Lx ≤ x ≤ Lx, - Ly ≤ y ≤ Ly, - Lz ≤ z ≤ Lz.

Обйем паралелепіпеда

           V = 2Lx 2Ly 2Lz.

      В якості межових умов візьмемо найпростіші, а саме неоднорідні межові умови першого роду, які відповідають заданню на поверхні паралелепіпеда значень векторного потенціалу

           A(- Lx, y, z, t), A(Lx, y, z, t), - Ly ≤ y ≤ Ly, - Lz ≤ z ≤ Lz,

           A(x, - Ly, z, t), A(x, Ly, z, t), - Lx ≤ x ≤ Lx, - Lz ≤ z ≤ Lz,

           A(x, y, - Lz, t), A(x, y, Lz, t), - Lx ≤ x ≤ Lx, - Ly ≤ y ≤ Ly.

Очевидно, що в усіх точках кожної з бокових граней паралелепіпеда поле має однакові значення. На протилежних гранях паралелепіпеда поле відрізнятиметься лише числовим коефіцієнтом, а саме

           A(Lx, y, z, t) = αx A(- Lx, y, z, t),

           A(x, Ly, z, t) = αy A(x, - Ly, z, t),

           A(x, y, Lz, t) = αz A(x, y, - Lz, t),

де αx, αy, αz — відомі дійсні числа. є. Скінченність простору, зайнятого полем, дозволяє застосувати до розвйазання польового рівняння розвинення невідомої функції у ряд Фурьє

           A(r, t) = (1/√V) ak(t).

Після підстановки цього розвинення у рівняння воно набуває вигляду

           (1/√V) [d2ak(t)/dt2 – k2 ak(t)] = 0,

де ми врахували, що

           ∆ A(r, t) = - (1/√V) k2 ak(t),

           ∂2A(r, t)/∂t2 = (1/√V) d2ak(t)/dt2.

Отримане нами рівняння виконуватиметься лише у разі, якщо, виконуватиметься рівняння

           d2ak(t)/dt2 – ωk 2 ak(t) = 0,

де

           ωk = c k

- так звана циклічна частота електромагнітних коливань. Ще одне рівняння породжує умова калібровки

           k ak(t) = 0.

Останнє рівняння є умовою ортогональності амплітуди коливань ak(t) і хвильового вектора коливань k. іншими словами електромагнітні хвилі є поперечними і амплітуда коливань має у просторі лише дві незалежні компоненти, перпендикулярні до напрямку їх розповсюдження.

      Отримані рівняння дозволяють інтерпретувати електромагнітне поле A(r, t) як набір незалежних осциляторів, кожний з яких характеризується своєю частотою коливань ωk , хвильовим вектором k і амплітудою коливань ak(t). Врахуємо тепер вплив межових умов на розвйязки отриманого рівняння. Підкладаючи розвинення Фурйе в межові умови, отримуємо

           (i kx Lx) exp[i (ky y + kz z)] ak(t) = αx (- i kx Lx) exp[i (ky y + kz z)] ak(t),

           (i ky Ly) exp[i (kx x + kx z)] ak(t) = αy (- i ky Ly) exp[i (kx x + kz z)] ak(t),

           (i kz Lz) exp[i (kx x + ky y)] ak(t) = αz (- i kz Lz) exp[i (kx x + ky y)] ak(t).

Такі рівності можливі лише за умови, якщо

           exp(i kx Lx) = αx exp(- i kx Lx),

           exp(i ky Ly) = αy exp(- i ky Ly),

           exp(i kz Lz) = αz exp(- i kz Lz)

або

           exp(2 i kx Lx) = αx, exp(2 i ky Ly) = αy, exp(2 i kz Lz) = αz.

Врахуємо тепер, що у показниковій формі представлення для одиниці маємо вираз

           1 = exp(i 2 π n),

де n – довільне ціле число. Тепер межові умови можна записати так

           exp(2 i kx Lx) = αx exp(i 2 π nx) = exp[(i 2 π nx) + ln(αx)],

           exp(2 i ky Ly) = αy exp(i 2 π ny) = exp[(i 2 π ny) + ln(αy)],

           exp(2 i kz Lz) = αz exp(i 2 π nz) = exp[(i 2 π nz) + ln(αz)]

або

           2 i kx Lx = i 2 π nx + ln(αx),

           2 i ky Ly = i 2 π ny + ln(αy),

           2 i kz Lz = i 2 π nz + ln(αz).

Звідси для кожної компоненти хвильового вектора отримаємо наступний набір значень

           kx = π nx/Lx - i ln(αx)/2Lx,

           ky = π ny/Ly - i ln(αy)/2Ly,

           kz = π nz/Lz - i ln(αz)/2Lz.

Ці значення виявляються комплексними. Такими ж комплексними будуть і відповідні значення частоти електромагнітного поля. Комплексність хвильового вектора означає неоднорідність електромагнітного поля у просторі, що суперечить припущенню про те, що воно вільне. Комплексність частоти означає її затухання або наростання з часом в залежності від значень коефіцієнтів αx, αy, αz. Це також суперечить припущенню про те, що поле вільне. Отже загальні неоднорідні межові умови першого роду не відповідають меті описання реального експерименту і взагалі не мають фізичного сенсу. Єдиний варіант, коли ми отримуємо можливість описати реальний експеримент, - це випадок, коли αx, αy, αz = 1. У цьому разі

           kx = π nx/Lx, ky = π ny/Ly, kz = π nz/Lz

і на протилежних стінках паралелепіпеда поле має однакові значення. Звичайно так і поступають на практиці, не обговорюючи це питання окремо. Геометрично таку процедуру часто пояснюють як використання циклічних межових умов. В одновимірному випадку вони відповідають обйеднанню кінців проміжку [- Lx, Lx]. Так поступають і у разі більшої кількості вимірів. Вже у тривимірному випадку таку процедуру годі й уявити.

      Тепер і хвильовий вектор, і частота електромагнітної хвилі є дійсними, а поле однорідним у просторі і стаціонарним у часі. Стосовно розглянутої нами задачі це означає використання паралелепіпеда з абсолютно чорними стінками (дивись додаток), тобто такими, що повністю поглинають і повністю випромінюють все світло, що на них падає. Інші варіанти можна розглядати лише теоретично, але не можливо реалізувати практично.

      Надалі нас цікавитимуть наступні інтервальні оцінки

           ∆kx = π ∆nx/Lx, ∆ky = π ∆ny/Ly, ∆kz = π ∆nz/Lz.

Тут число незалежних тривимірних осціляторів

           ∆n = ∆nx ∆ny ∆nz,

що відповідає інтервалу значень хвильового вектора

           ∆k = ∆kx ∆ky ∆kz,

буде таким

      ∆n = [(Lx Ly Lz)/π3]∆k = [V/(2 π)3] ∆k.

      Враховуючи поперечність коливань тривимірних осциляторів, тобто наявність у них лише двох ступенів вільності, кількість одновимірних осциляторів буде вдвічі більшою

           ∆N = 2 ∆n = 2 [V/(2 π)3] ∆k.

У сферичних координатах

           ∆N = 2 [V/(2 π)3] k2 sin(θ) dθ dφ ∆k.

Після інтегрування за тілесним кутом

           ∆N = (V/π2) k2 ∆k = (V/π2) ω2 ∆ω/c3 = 8 π V ν2 ∆ν/c3,

де частота коливань

           ν = ω/(2 π).

Оцінимо порядок величин, що входять у вираз для ∆N. Запишемо відповідну формулу так

           ∆N = [(8 π V ν3)/c3] (∆ν/ν).

      Частота видимого світла знаходиться в інтервалі (4×10¹⁴ — 7.5×10¹⁴) гц. Для швидкості світла візьмемо величину 3 1010 см/сек. Нехай ∆N є скінченою величиною, рівною одиниці, а V = 1 см3, тоді вираз у дужках має порядок величини 1014. Тобто коефіцієнт пропорційності між кількістю одновимірних осциляторів і відносною частотою є надзвичайно великим. Отже, порівнюючи ∆N і відносну частоту ∆ν/ν можна сказати, що цю останню порівняно з ∆N можна вважати величиною порядку 10-14. Ця обставина цілком виправдовує позначення проміжку частот ∆ν як диференціала частот dν з відповідними правилами його використання у подальшому. Отже, з високою точністю можна записати останній вираз так

           ∆N = [(8 π V ν2)/c3] dν.

Тепер легко визначити просторову густину енергії осциляторів в інтервалі частот [ν, ν + dν]

           ρ(ν, T) dν= ε(ν, T) dN/V = ε(ν, T) 8 π ν2 dν/c3,

де ε(ν, T) – середня енергія одновимірного осцилятора в стані термодинамічної рівноваги при температурі T. Знайдемо цю енергію. Оскільки вона є квантованою, тобто кратною її мінімальній порції hν, де h – стала, що має розмірність енергії, помноженої на час, то довільне значення енергії

           εn = n h ν,

де n = 0, 1, 2, … .

      Відповідно до закону Больцмана, ймовірність wn реалізації енергії εn при температурі T визначається так

           wn = c exp[- εn/(kB T)],

де kB - стала Больцмана. Стала c знаходиться з умови нормування

           n = c [- εn/(kB T)] = 1.

Отже,

           wn = exp[- εn/(kB T)]/[- εn/(kB T)],

           ε(ν, T) = n εn.

Обчислимо відповідні суми

           [- εn/(kB T)] = [- n h ν/(kB T)] = [- h ν/(kB T)]n =

           = 1/[1 - exp[- h ν/(kB T)]].

Тут ми використали формулу для суми нескінченої геометричної прогресії із знаменником exp[- h ν/(kB T)]. Вираз для середньої енергії можна представити так

           ε(ν, T) = - (∂/∂β) ln[(- n h ν β)] =

           = - (∂/∂β) ln[(- h ν β)]n = - (∂/∂β) ln[1/[1 - exp[- h ν/(kB T)]]] =

           = h ν/[exp[h ν/(kB T)] – 1],

де β = 1/(kB T). Отже, отримуємо знамениту формулу Планка для випромінювання абсолютно чорного тіла

           ρ(ν, T) dν = 8 π h ν3 dν/[[exp[h ν/(kB T)] – 1] c3].

Тепер для повної просторової густини енергії випромінювання отримаємо

           u(T) = = ( 8 π h/ c3) ν3 /[exp[h ν/(kB T)] – 1] =

           = 8 π (kB T)4/(h c)3 x3/[exp(x) – 1] =

            = 8 π5 (kB T)4/(15 h3 c3).

Тут ми скористались відомим значенням інтегралу

           x3/[exp(x) – 1] = π4/15.

      Формула Планка дозволяє знайти сталу h , введену нами з міркувань розмірності так, щоб добуток частоти на цю сталу мав розмірність енергії. Для цього використовується експериментально встановлений закон для густини енергії — закон Стефана-Больцмана

           u(T) = a T4.

Порівнюючи теоретично знайдений нами вираз для цього закону з експериментальним, бачимо, що a = 8 π5 kB4/(15 h3 c3).

Звідси і знаходиться значення сталої Планка h = 6.62 10-27 ерг сек.

           Додаток

      Абсолютно чорне тіло — це ідеалізоване фізичне тіло, яке повністю поглинає будь-яке електромагнітне випромінювання незалежно від довжини хвилі та температури, і водночас є найкращим можливим випромінювачем. Його спектр випромінювання залежить лише від температури.

      Основні характеристики

      • Абсорбція: коефіцієнт поглинання дорівнює 1 для всіх довжин хвиль.

      • Випромінювання: інтенсивність визначається тільки температурою (закон Планка).

      • Колір: видимий колір змінюється із температурою — від червоного до білого.

      • Модель: практичною моделлю є порожнина з маленьким отвором і чорними стінками, де світло багаторазово відбивається і поглинається Приклади наближених чорних тіл

      • Сажа, платинова чернь: поглинають до 99% світла у видимому діапазоні.

      • Сонце: спектр близький до випромінювання чорного тіла при температурі ~6000 K.

      • Vantablack: сучасний матеріал, що поглинає 99,965% світла.

      Значення в науці

      • Термодинаміка: чорне тіло є базовою моделлю для вивчення теплового випромінювання.

      • Астрономія: спектри зірок порівнюють із випромінюванням чорного тіла для визначення температури.

      • Квантова механіка: дослідження випромінювання чорного тіла привели Макса Планка до відкриття квантування енергії, що стало основою квантової теорії.

      Ключові висновки

      • Абсолютно чорне тіло — абстрактна модель, яка не існує в природі у чистому вигляді.

      • Воно є еталоном для порівняння реальних матеріалів і небесних тіл.

      • Його дослідження стали фундаментом для розвитку квантової фізики та розуміння природи світла й тепла.