Звідки ми знаємо структуру операторів квантової механіки?

      В основі квантової механіки лежить класична механіка. Всі характеристики і вирази класичної механіки мають місце і у квантовій механіці. Різниця лише в тому, що в класичній механіці всі засадничі характеристики фізичної системи є функціями, а у квантовій — операторами. Процедура знаходження функціональних характеристик системи класичної механіки замінюється процедурою знаходження власних чисел і власних функцій операторів квантової механіки.

      Виникає запитання, а звідки нам відома структура операторів квантової механіки?

      Найпростіша відповідь проста. Ми просто вгадуємо їх структуру і перевіряємо правильність такого вгадування на результатах розрахунків спостережуваних фізичних характеристик систем. Якщо експериментальні данні відтворюються з високою точністю, то ми правильно вгадали відповідні структури, якщо ні — то процес вгадування слід продовжити. Чи існує інший шлях прогнозування? Так, існує і його запропонував супергеніальний британський науковець Поль Адрієн Моріс Дірак. Він запропонував взяти за основу дужки Пуассона. Його головне припущення полягало у тому, що ці дужки мають однаковий вигляд і у класичній, і у квантовій механіці. Як ми побачимо далі, саме з цього припущення і випливають структури операторів квантової механіки.

      Якщо f(q, p, t) – довільна функція, координат, імпульсів і часу, то легко визначити рівняння, якому вона задовольняє. Для цього знайдемо її похідну

           df(q, p, t)/dt = ∂f(q, p, t)/∂t + [∂f(q, p, t)/∂qk dqk(t)/dt + ∂f(q, p, t)/∂pk dpk(t)/dt],

де q = (q1, q2, … , qN) – координати системи, p = (p1, p2, … , pN) – компоненти імпульсів системи, N – кількість ступенів вільності системи. Врахуємо, що координати і імпульси задовольняють рівнянням Гамільтона

           dqk(t)/dt = ∂H(q, p, t)/∂pk,

           dpk(t)/dt = - ∂H(q, p, t)/∂qk.

Тепер похідну функції f(q, p, t) можна записати у вигляді

           df(q, p, t)/dt = ∂f(q, p, t)/∂t + [H(q, p, t), f(q, p, t)].

Тут вираз

           [H(q, p, t), f(q, p, t)] = [∂f(q, p, t)/∂qk ∂H(q, p, t)/∂pk - ∂f(q, p, t)/∂pk ∂H(q, p, t)/∂qk]

називається дужками Пуассона для функцій H(q, p, t) і f(q, p, t)].

      Якщо в якості функції f(q, p, t) взяти інтеграл руху, тобто таку функцію, що в процесі руху системи залишається незмінною df(q, p, t)/dt = 0, то для такого інтегралу руху ми отримаємо наступне рівнянням

           ∂f(q, p, t)/∂t + [∂f(q, p, t)/∂qk dqk(t)/dt + ∂f(q, p, t)/∂pk dpk(t)/dt] = 0.

Якщо ж інтеграл руху не залежить від часу, то рівняння суттєво спрощується

           [∂f(q, p, t)/∂qk dqk(t)/dt + ∂f(q, p, t)/∂pk dpk(t)/dt] = 0.

      Дужки Пуассона можна створити не лише з довільної функції і Гамільтоніана, але і із двох довільних функцій f(q, p, t) і g(q, p, t)

           [g(q, p, t), f(q, p, t)] = [∂f(q, p, t)/∂qk ∂g(q, p, t)/∂pk - ∂f(q, p, t)/∂pk ∂g(q, p, t)/∂qk].

Найважливіша властивість дужок Пуассона полягає у тому, що якщо функції f(q, p, t) і g(q, p, t) є інтегралами руху, то складені з них дужки Пуассона також є інтегралом руху, тобто

           [g(q, p, t), f(q, p, t)] = const.

Дійсно,

           d[g(q, p, t), f(q, p, t)]/dt = [dg(q, p, t)/dt, f(q, p, t)] + [g(q, p, t), df(q, p, t)/dt].

Якщо f(q, p, t) є інтегралом руху, то df(q, p, t)/dt = 0. Якщо g(q, p, t) є інтегралом руху, то g(q, p, t) = 0. Отже,

           d[g(q, p, t), f(q, p, t)]/dt = 0

або

           [g(q, p, t), f(q, p, t)] = const.

      Дужки Пуассона мають наступні властивості:

1. [g, f] = - [f, g],

2. [f, c] = 0, де с — стала величина,

3. [f1 + f2, g] = [f1, g] + [f2, g],

4. [f1 f2, g] = f1 [f2, g] + f2 [f1, g],

5. d[f, g]/dt = [df/dt, g], + [f, dg/dt],

6. [f, qk] = ∂f/∂pk,

7. [f, pk] = - ∂f/∂qk.

Всі ці властивості перевіряються безпосередньо. Наступна властивість — тотожність Якобі вже вимагає складнішого доведення, яке ми опускаємо

8. [f, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]] = 0.

      Дірак виходив з припущення, що алгебраїчні співвідношення між динамічними величинами, записані через дужки Пуассона, за формою мають бути однаковими як у класичній, так і квантовій механіці. При цьому, якщо у класичній механіці — це співвідношення між функціями [f, g], то у квантовій механіці — це співвідношення між операторами [f, g]. Розглянемо наступну дужку Пуассона між операторами

           [A B, C D] = A [B, C D] + [A, C D] B =

           = A C [B, D] + A [B, C] D + [A, C] D B + C [A, D] B.

Абсолютно рівноправним чином вихідну дужку Пуассона Можна розкрити і інакше

           [A B, C D] = [A B, C] D + C [A B, D] =

           = A [B, C] D + [A, C] B D + C A[B, D] + C [A, D] B.

Тут спочатку ми використали четверту властивість дужок Пуассона, розглядаючи як одне ціле спочатку добуток операторів C і D, а потім операторів A і B. Оскільки обидва вирази еквівалентні, то взявши їх різницю ми отримаємо нуль

           0 = (A C - C A) [B, D] + [A, C] (D B - B D)

або

           (A C - C A) [B, D] = [A, C] (B D - D B).

Така рівність можлива лише у тому разі, якщо

           [A, C] = α (A C - C A) = α [A, C]-,

           [B, D] = α (B D - D B) = α [B, D]-,

де α — деяке число. Тобто у разі квантовомеханічних операторів їх дужки Пуассона з точністю до сталого множника є їх комутатором. Причому коефіцієнт α є однаковим для будь-яких операторів, тобто є універсальною сталою. Оскільки оператори квантової механіки є ермітовими, то ермітовою буде і дужка Пуассона двох таких операторів, або їх комутатор. Цей висновок оснований на головній властивості класичних, а відповідно і квантових дужок Пуассона. Нагадаємо, що дужки Пуассона двох динамічних величин є новою динамічною величиною. Але у квантовій механіці всі оператори, що відповідають різноманітним динамічним величинам, є ермітовими, що і доводить зроблене вище твердження. З цієї властивості можна отримати важливу інформацію щодо сталої α. Дійсно, з умови ермітовості випливає, що

           [A, B]+ = [A, B].

Але

           [A, B] = α [A, B]-,

           [A, B]+ = α* [B, A]- = - α* [A, B]-.

Отже,

           α = - α*.

і стала α має бути чисто уявною, тобто α = i│α│. Зйясуємо тепер її розмірність. Для цього в якості пари операторів візьмемо оператори імпульсу p і координати q для системи з одним ступенем вільності. У класичній механіці ми матимемо у цьому разі наступну рівність

           [p, q] = 1.

У квантовій механіці також має бути

           [p, q] = 1

або

      [p, q] = α [p, q]- = α (p q – q p) = i│α│(p q – q p) = 1.

Тобто комутатор має розмірність маси помножену на розмірність довжини у квадраті і поділену на розмірність часу. Єдиною універсальною величиною з такою розмірністю є стала Планка. Отже для комутатора операторів імпульсу і координати матимемо

           [p, q]- = - i h/(2 π).

Можна діяти і інакше — не конкретизувати сталу │α│ до моменту розвйазання якоїсь конкретної задачі з участю операторів імпульсу і координати, наприклад задачу про квантовий осцилятор. Тоді енергетичної спектр осцилятора визначатиметься через сталу │α│. Узгодження з результатами інших підходів, так само як і з експериментальними даними виникає лише тоді, коли стала │α│-1 є сталою Планка.

      Знайдемо тепер конкретний вигляд операторів імпульсу і координати. Для цього подіємо операторною дужкою Пуассона на хвильову функцію φ(q)

           [p, q] φ(q, p) = i│α│(p q φ(q, p) – q p φ(q, p)) = φ(q, p).

Ясно, що засадничі рівняння квантової механіки мають бути диференційними. Для цього бодай один з операторів p або q має бути диференційним. Тут можливі два прості рівноправні варіанти: координаті осцилятора відповідає звичайна функція q, а імпульсу оператор p, або навпаки, імпульсу відповідає звичайна функція p, а координаті оператор q. З міркувань розмірності випливає, що порядок відповідної похідної має бути першим з відповідним правилом диференціювання добутку двох функцій. У першому випадку

           [p, q] φ(q) = i│α│(p q φ(q) – q p φ(q)) =

           = i│α│(φ(q) p q + q p φ(q) – q p φ(q)) = i│α│φ(q) p q = φ(q).

Остання рівність можлива лише у разі, якщо

           i│α│p q = 1.

Відповідно

           p = 1/(i│α│) d/dq, q = q.

У другому випадку

           [p, q] φ(p) = i│α│(p q φ(p) –q p φ(p)) =

           = i│α│(p q φ(p) - φ(p) q p – p q φ(p)) = - i│α│φ(p) q p = φ(p).

Остання рівність можлива лише у разі, якщо

           i│α│q p = 1.

Відповідно

           q = - 1/(i│α│) d/dp, p = p.

Перший варіант називається q представленням або координатним представленням. Другий варіант називається p представленням або імпульсним представленням. Побудова решти операторів квантової механіки вже не становить труднощів, оскільки вони виражаються через оператори імпульсу і координати.